【设e，f是两个banach空间，令a:d(a)′e→f为一个闭算子，且d(a)′=e。求证：d(a′)′σ(f′，f)=f′d(a′)σ(f′，f)=f′。其中a′是a的伴随算子，f′是f的对偶空间，σ(f′，f)为f′上的弱*拓扑，d(a′)′σ(f′，f)表示d(a′)在弱拓扑σ(f′，f)下的闭包。】
叶秋走上讲台，看着黑板上已经写好的例题。
“怎么样，能解不？”
秃顶老师似笑非笑地看着叶秋。
“问题不大！”
叶秋沉吟一会儿，便直接唰唰唰写了起来；
【解：设f是e的子向量空间满足f′≠e.则存在f∈e'不为0，使得(f，x)=0，x∈f……】
教室里忽然安静了下来，所有人都紧盯着黑板。
慢慢地，议论声渐起。
“我去，他还真会解！”
“现在的高中生都这么夸张了嘛？”
“麻蛋，泛函分析我都还没搞明白呢？这家伙竟然学会了。”
“话说高中时期竞赛班的学生好像也没那么厉害吧！”
“这家伙该不会真有能耐一小时不到就解完冬令营考试的三道大题吧……”
……
教室里响起一阵嗡嗡声。
不少原本质疑叶秋的人，一个个脸上也流露出了凝重之色。
要知道，泛函分析属于数学系的专业基础必修课，主要研究无穷维函数空间的数学分析，一般要到大三才能学到。
在学习这门课之前，你首先得掌握《高等代数》《数学分析》《实变函数》《集论拓扑》《复变函数》《实分析》《常微分方程》《偏微分方程》等课程。
问题是，这些课程都只有大学才有，至少要花两年以上的时间才能掌握。
而讲台上这个年轻人，不过是一名高中生。
高中时代，语文数学英语物理化学生物都学不过来了，他哪来的时间，哪来的精力掌握这些知识？
这些人自然不知道，过去两个多月，叶秋除了抽出一小部分精力复习五大学科竞赛之外，剩下的时间，全部放在了大部头的《数学原理》上面。
他非但将布尔巴基学派的《数学原理》全部看了一遍，而且还在进一步深入反刍研究。
别说本科阶段学习的线性泛函分析了，即使研究生阶段才能学到的非线性泛函分析，对他而言也没什么难度。
唰唰唰——
叶秋在黑板上轻松写完最后一行字，笑着对秃顶老师道：“老师，解完了！”
秃顶老师若有所思地看着叶秋：“泛函分析的知识你都掌握了？”
“差不多全都掌握了！”
叶秋微微一笑，淡定道。
“那你能说一说自己对这门课程的理解吗？”
秃顶老师眼睛冒光。
如果叶秋没有吹牛，真的高中阶段就学完了泛函分析的内容，那毫无疑问是一名数学天才。
到时候就算在数学奥林匹克冬令营里面表现一般，自己也可以强烈建议学校录取他！
叶秋微微一愣，说道：“行吧，那我就讲一讲！”
“众所周知，泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期，本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说，数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了，特别是把它和调和分析放在一起的时候，很难分清楚什么叫做调和分析，什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义，而是关注它的基础和未来的发展趋势。”
“我们首先讨论一些早期的抽象分析，尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化，使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、弗雷德霍姆，希尔伯特关于积分方程的工作；二、volterra和hadamard关于动量问题的研究；三、lebesgue，frechet和riesz在抽象空间上的工作以及最后，hahn和banach关于对偶这个概念的研究……”
叶秋的语气不疾不徐，却吸引了所有人的目光。
一旁的秃顶老师眼睛也不由得开始瞪圆。
正常讲述一门课的时候，通常从基础开始，然后慢慢扩展并深入挖掘。
但叶秋的讲课方法完全不一样，他是从泛函分析的发展史开始讲解，结合数学史的一些知识，然后再慢慢深入。
这种讲解方法，无疑对学生更有吸引了。
而且最关键的是，叶秋在讲解的时候，往往从最本质的一些东西出发，即使一些相当抽象的概念，他也能轻易将其转化成同学们更容易理解的概念。
甚至连秃顶老师自己，也渐渐被叶秋的讲课给吸引住了。
教室里渐渐安静了下来，只留下叶秋的声音在空中回荡。
“弗雷德霍姆和希尔伯特关于积分方程的工作，我们可以从以下两个具体事例开始。最早的积分方程来源傅立叶研究热问题。1822年，傅立叶讨论了如果去逆向解如下的方程：f(x)=∫re^itxg(t)dt，也就是已知f，怎么求出g。现代的语言中，这其实就是求傅立叶变换的逆变换……”
“其次，就是liouville在研究二阶常微分方程的时候发现它们等价于一类积分方程。比如，方程的解f“(x)g(x)=f(x)。如果满足边界条件f(a)=1，f'(a)=0利用这个方程的基本解可以证明方程的解满足……”
……
铃铃铃——
不知何时，下课铃声响了起来。
叶秋放下粉笔，微笑道：“时间差不多了，这是我本人关于泛函分析的理解，老师，您还有什么问题吗？”
秃顶老师这才回过神来，他深深地看了叶秋一眼，并没有直接回答叶秋，而是转向下面的同学：“大家觉得这位叶秋同学讲得怎么样？”
叶秋走上讲台，看着黑板上已经写好的例题。
“怎么样，能解不？”
秃顶老师似笑非笑地看着叶秋。
“问题不大！”
叶秋沉吟一会儿，便直接唰唰唰写了起来；
【解：设f是e的子向量空间满足f′≠e.则存在f∈e'不为0，使得(f，x)=0，x∈f……】
教室里忽然安静了下来，所有人都紧盯着黑板。
慢慢地，议论声渐起。
“我去，他还真会解！”
“现在的高中生都这么夸张了嘛？”
“麻蛋，泛函分析我都还没搞明白呢？这家伙竟然学会了。”
“话说高中时期竞赛班的学生好像也没那么厉害吧！”
“这家伙该不会真有能耐一小时不到就解完冬令营考试的三道大题吧……”
……
教室里响起一阵嗡嗡声。
不少原本质疑叶秋的人，一个个脸上也流露出了凝重之色。
要知道，泛函分析属于数学系的专业基础必修课，主要研究无穷维函数空间的数学分析，一般要到大三才能学到。
在学习这门课之前，你首先得掌握《高等代数》《数学分析》《实变函数》《集论拓扑》《复变函数》《实分析》《常微分方程》《偏微分方程》等课程。
问题是，这些课程都只有大学才有，至少要花两年以上的时间才能掌握。
而讲台上这个年轻人，不过是一名高中生。
高中时代，语文数学英语物理化学生物都学不过来了，他哪来的时间，哪来的精力掌握这些知识？
这些人自然不知道，过去两个多月，叶秋除了抽出一小部分精力复习五大学科竞赛之外，剩下的时间，全部放在了大部头的《数学原理》上面。
他非但将布尔巴基学派的《数学原理》全部看了一遍，而且还在进一步深入反刍研究。
别说本科阶段学习的线性泛函分析了，即使研究生阶段才能学到的非线性泛函分析，对他而言也没什么难度。
唰唰唰——
叶秋在黑板上轻松写完最后一行字，笑着对秃顶老师道：“老师，解完了！”
秃顶老师若有所思地看着叶秋：“泛函分析的知识你都掌握了？”
“差不多全都掌握了！”
叶秋微微一笑，淡定道。
“那你能说一说自己对这门课程的理解吗？”
秃顶老师眼睛冒光。
如果叶秋没有吹牛，真的高中阶段就学完了泛函分析的内容，那毫无疑问是一名数学天才。
到时候就算在数学奥林匹克冬令营里面表现一般，自己也可以强烈建议学校录取他！
叶秋微微一愣，说道：“行吧，那我就讲一讲！”
“众所周知，泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期，本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说，数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了，特别是把它和调和分析放在一起的时候，很难分清楚什么叫做调和分析，什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义，而是关注它的基础和未来的发展趋势。”
“我们首先讨论一些早期的抽象分析，尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化，使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、弗雷德霍姆，希尔伯特关于积分方程的工作；二、volterra和hadamard关于动量问题的研究；三、lebesgue，frechet和riesz在抽象空间上的工作以及最后，hahn和banach关于对偶这个概念的研究……”
叶秋的语气不疾不徐，却吸引了所有人的目光。
一旁的秃顶老师眼睛也不由得开始瞪圆。
正常讲述一门课的时候，通常从基础开始，然后慢慢扩展并深入挖掘。
但叶秋的讲课方法完全不一样，他是从泛函分析的发展史开始讲解，结合数学史的一些知识，然后再慢慢深入。
这种讲解方法，无疑对学生更有吸引了。
而且最关键的是，叶秋在讲解的时候，往往从最本质的一些东西出发，即使一些相当抽象的概念，他也能轻易将其转化成同学们更容易理解的概念。
甚至连秃顶老师自己，也渐渐被叶秋的讲课给吸引住了。
教室里渐渐安静了下来，只留下叶秋的声音在空中回荡。
“弗雷德霍姆和希尔伯特关于积分方程的工作，我们可以从以下两个具体事例开始。最早的积分方程来源傅立叶研究热问题。1822年，傅立叶讨论了如果去逆向解如下的方程：f(x)=∫re^itxg(t)dt，也就是已知f，怎么求出g。现代的语言中，这其实就是求傅立叶变换的逆变换……”
“其次，就是liouville在研究二阶常微分方程的时候发现它们等价于一类积分方程。比如，方程的解f“(x)g(x)=f(x)。如果满足边界条件f(a)=1，f'(a)=0利用这个方程的基本解可以证明方程的解满足……”
……
铃铃铃——
不知何时，下课铃声响了起来。
叶秋放下粉笔，微笑道：“时间差不多了，这是我本人关于泛函分析的理解，老师，您还有什么问题吗？”
秃顶老师这才回过神来，他深深地看了叶秋一眼，并没有直接回答叶秋，而是转向下面的同学：“大家觉得这位叶秋同学讲得怎么样？”